Ecuación diferencial dy/dx=(3x+2y)/(3x+2y+2)

Tenemos la ecuación:
$$- \frac{3 x + 2 y{\left(x \right)}}{3 x + 2 y{\left(x \right)} + 2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{2}{3 x + 2 y{\left(x \right)} + 2}$$
entonces
$$u{\left(x \right)} = 3 x + 2 y{\left(x \right)} + 2$$
y porque
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2}$$
sustituimos
$$- \frac{3 x}{u{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1\right)}{u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1\right) = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{5}{2} + \frac{2}{u{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -5 + \frac{4}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-5 + \frac{4}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} - 4} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} - 4} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} - 4} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{5 u - 4}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{5} - \frac{4 \log{\left(5 u - 4 \right)}}{25} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{4 W\left(- \frac{\sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e^{1}}\right)}{5} + \frac{4}{5}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{4 W\left(\frac{\sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e^{1}}\right)}{5} + \frac{4}{5}$$
$$\operatorname{u_{3}} = u{\left(x \right)} = \frac{4 W\left(- \frac{i \sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e^{1}}\right)}{5} + \frac{4}{5}$$
$$\operatorname{u_{4}} = u{\left(x \right)} = \frac{4 W\left(\frac{i \sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e^{1}}\right)}{5} + \frac{4}{5}$$
hacemos cambio inverso
$$y1 = y(x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{2 W\left(- \frac{\sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e}\right)}{5} - \frac{3}{5}$$
$$y2 = y(x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{2 W\left(\frac{\sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e}\right)}{5} - \frac{3}{5}$$
$$y3 = y(x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{2 W\left(- \frac{i \sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e}\right)}{5} - \frac{3}{5}$$
$$y4 = y(x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{2 W\left(\frac{i \sqrt[4]{C_{1} e^{25 x}}}{4 e}\right)}{5} - \frac{3}{5}$$