Ecuación diferencial y'exp(5x)=y^2+9

Tenemos la ecuación:
$$e^{5 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 9$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = e^{- 5 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 9$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 9$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 9} = e^{- 5 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 9} = dx e^{- 5 x}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 9} = dx e^{- 5 x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 9}\, dy = \int e^{- 5 x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{3} \right)}}{3} = Const - \frac{e^{- 5 x}}{5}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 3 \tan{\left(C_{1} + \frac{3 e^{- 5 x}}{5} \right)}$$