Sr Examen
Ecuación diferencial exp(2x)*y*dy=-(1+exp(2x))dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*x 2*x --(y(x))*e *y(x) = -1 - e dx
$$y{\left(x \right)} e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - e^{2 x} - 1$$
y*exp(2*x)*y' = -exp(2*x) - 1
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - e^{2 x} - 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = e^{2 x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{2 x} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$e^{2 x}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -1 - e^{- 2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(-1 - e^{- 2 x}\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(-1 - e^{- 2 x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(-1 - e^{- 2 x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - x + \frac{e^{- 2 x}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x + e^{- 2 x}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x + e^{- 2 x}}$$
$$y{\left(x \right)} e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - e^{2 x} - 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = e^{2 x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{2 x} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$e^{2 x}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -1 - e^{- 2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(-1 - e^{- 2 x}\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(-1 - e^{- 2 x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(-1 - e^{- 2 x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - x + \frac{e^{- 2 x}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x + e^{- 2 x}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x + e^{- 2 x}}$$
Respuesta
[src]
__________________
/ -2*x
y(x) = -\/ C1 - 2*x + e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 x + e^{- 2 x}}$$
__________________
/ -2*x
y(x) = \/ C1 - 2*x + e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x + e^{- 2 x}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -9.13143716550982e-10)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 3.1444335731079386e+179)
(7.777777777777779, 8.388243566958553e+296)
(10.0, 4.671824543686e-310)
(10.0, 4.671824543686e-310)