Sr Examen
Ecuación diferencial exp^x*tgydx=((1-exp^x)/(cosy)^2)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d x
--(y(x)) --(y(x))*e
x dx dx
e *tan(y(x)) = ---------- - -----------
2 2
cos (y(x)) cos (y(x))
$$e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - \frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
exp(x)*tan(y) = -exp(x)*y'/cos(y)^2 + y'/cos(y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$
$$- \frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \frac{e^{x}}{2 \left(1 - e^{x}\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ 2*x x\
|-1 - C1 - e + 2*e |
acos|---------------------|
| 2*x x|
\-1 + C1 - e + 2*e /
y(x) = pi - ---------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$
/ 2*x x\
|-1 - C1 - e + 2*e |
acos|---------------------|
| 2*x x|
\-1 + C1 - e + 2*e /
y(x) = ---------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1}{C_{1} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7501864304764615)
(-5.555555555555555, 0.7519096985883317)
(-3.333333333333333, 0.7681145639527713)
(-1.1111111111111107, 0.946711874213997)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)