Sr Examen
Ecuación diferencial exp(12t)*(2y''+20y)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \ | d | 12*t |2*---(y(t)) + 20*y(t)|*e = 0 | 2 | \ dt /
$$\left(20 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) e^{12 t} = 0$$
(20*y + 2*y'')*exp(12*t) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(20 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) e^{12 t} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - y{\left(t \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 10$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$10$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{10} = - y{\left(t \right)}$$
Con esto hemos separado las variables t y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{10} = - dt y{\left(t \right)}$$
o
$$\frac{dy'}{10} = - dt y{\left(t \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{10}\, dy' = \int \left(- y{\left(t \right)}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y'}{10} = Const - \int y{\left(t \right)}\, dt$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(t \right)} = C_{1} - 10 \int y{\left(t \right)}\, dt$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\, dt = \int \left(C_{1} - 10 \int y{\left(t \right)}\, dt\right)\, dt$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - 10 \int y{\left(t \right)}\, dt\right)\, dt$$
$$\left(20 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) e^{12 t} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - y{\left(t \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 10$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$10$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{10} = - y{\left(t \right)}$$
Con esto hemos separado las variables t y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{10} = - dt y{\left(t \right)}$$
o
$$\frac{dy'}{10} = - dt y{\left(t \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{10}\, dy' = \int \left(- y{\left(t \right)}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y'}{10} = Const - \int y{\left(t \right)}\, dt$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(t \right)} = C_{1} - 10 \int y{\left(t \right)}\, dt$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}\, dt = \int \left(C_{1} - 10 \int y{\left(t \right)}\, dt\right)\, dt$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - 10 \int y{\left(t \right)}\, dt\right)\, dt$$
Respuesta
[src]
/ ____\ / ____\ y(t) = C1*sin\t*\/ 10 / + C2*cos\t*\/ 10 /
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(\sqrt{10} t \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{10} t \right)}$$
Clasificación
factorable
2nd power series ordinary