Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt((1+y')/(2ay))=5
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
______________
/ d
/ 1 + --(y(x))
___ / dx
\/ 2 * / ------------
\/ a*y(x)
-------------------------- = 5
2
$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1}{a y{\left(x \right)}}}}{2} = 5$$
sqrt(2)*sqrt((y' + 1)/(a*y))/2 = 5
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1}{a y{\left(x \right)}}}}{2} = 5$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 50 a y{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 50 a y{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{50 a y{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{50 a y{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
o
$$- \frac{dy}{50 a y{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{50 a y - 1}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(50 a y - 1 \right)}}{50 a} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{e^{a \left(C_{1} + 50 x\right)} + 1}{50 a}$$
$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1}{a y{\left(x \right)}}}}{2} = 5$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 50 a y{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 50 a y{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{50 a y{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{50 a y{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
o
$$- \frac{dy}{50 a y{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{50 a y - 1}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(50 a y - 1 \right)}}{50 a} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{e^{a \left(C_{1} + 50 x\right)} + 1}{50 a}$$
Respuesta
[src]
a*(C1 + 50*x)
1 + e
y(x) = ------------------
50*a
$$y{\left(x \right)} = \frac{e^{a \left(C_{1} + 50 x\right)} + 1}{50 a}$$
Clasificación
factorable
lie group