Sr Examen
Ecuación diferencial y'*(sin(x)^3)=(y-3)*cosx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
3 d
sin (x)*--(y(x)) = (-3 + y(x))*cos(x)
dx
$$\sin^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(x \right)}$$
sin(x)^3*y' = (y - 3)*cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} - 3$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} - 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y - 3}\, dy = \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y - 3 \right)} = Const - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}} + 3$$
$$\sin^{3}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(y{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} - 3$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} - 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y - 3}\, dy = \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y - 3 \right)} = Const - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}} + 3$$
Respuesta
[src]
-1
---------
2
2*sin (x)
y(x) = 3 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}} + 3$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 3.000000005260585)
(-5.555555555555555, 3.000000000155917)
(-3.333333333333333, 2.9999999999847335)
(-1.1111111111111107, 2.999999998810281)
(1.1111111111111107, 2.999999996284738)
(3.333333333333334, 2.9999999948773115)
(5.555555555555557, 2.999999995499795)
(7.777777777777779, 2.9999999961222787)
(10.0, 2.9999999967447626)
(10.0, 2.9999999967447626)