Ecuación diferencial y''-2y'-8y=40cos(2x)

Tenemos la ecuación:
$$- 8 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 40 \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = -2$$
$$q = -8$$
$$s = - 40 \cos{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k - 8 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2$$
$$k_{2} = 4$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} e^{4 x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(4*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 40 \cos{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{4 x} = 40 \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$4 e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 40 \cos{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{20 e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{20 e^{- 4 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{20 e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{20 e^{- 4 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{5 e^{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{5 e^{2 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{2 e^{- 4 x} \sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{4 e^{- 4 x} \cos{\left(2 x \right)}}{3}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 2 x} + C_{4} e^{4 x} - \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes