Ecuación diferencial dp/dt=4*p*(1-p/6)/5

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} p{\left(t \right)} = \frac{4 \left(1 - \frac{p{\left(t \right)}}{6}\right) p{\left(t \right)}}{5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(p)*p' = f2(x)*g2(p),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(p \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = \frac{2}{15}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(p \right)} = \left(6 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(p)/g2(p)*p'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(p)
$$\left(6 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 6\right) p{\left(t \right)}} = \frac{2}{15}$$
Con esto hemos separado las variables t y p.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 6\right) p{\left(t \right)}} = \frac{2 dt}{15}$$
o
$$- \frac{dp}{\left(p{\left(t \right)} - 6\right) p{\left(t \right)}} = \frac{2 dt}{15}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por p,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{p \left(p - 6\right)}\right)\, dp = \int \frac{2}{15}\, dt$$
Solución detallada de la integral con p
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(p \right)}}{6} - \frac{\log{\left(p - 6 \right)}}{6} = Const + \frac{2 t}{15}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica p.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{p_{1}} = t + \frac{5 \log{\left(p{\left(t \right)} - 6 \right)}}{4} - \frac{5 \log{\left(p{\left(t \right)} \right)}}{4} = C_{1}$$