Ecuación diferencial (1+e^x)y'=ye^x

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$e^{x} + 1$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} e^{x}}{e^{x} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y' + P(x)y = 0,

donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:

De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right)\, dx = - \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \left(e^{x} + 1\right) e^{C_{1}}$$
$$y_{2} = - \left(e^{x} + 1\right) e^{C_{2}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C \left(e^{x} + 1\right)$$