Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(y-1)*y'=(x+2)y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ d
\/ -1 + y(x) *--(y(x)) = (2 + x)*y(x)
dx
$$\sqrt{y{\left(x \right)} - 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) y{\left(x \right)}$$
sqrt(y - 1)*y' = (x + 2)*y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{y{\left(x \right)} - 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - x - 2$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \sqrt{y{\left(x \right)} - 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 2\right)$$
o
$$- \frac{dy \sqrt{y{\left(x \right)} - 1}}{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 2\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sqrt{y - 1}}{y}\right)\, dy = \int \left(- x - 2\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \begin{cases} 2 \sqrt{y - 1} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{y}} \right)} & \text{for}\: \left|{y}\right| > 1 \\2 i \sqrt{1 - y} + i \log{\left(y \right)} - 2 i \log{\left(\sqrt{1 - y} + 1 \right)} & \text{otherwise} \end{cases} = Const - \frac{x^{2}}{2} - 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \begin{cases} 2 \sqrt{y{\left(x \right)} - 1} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} \right)} & \text{for}\: \left|{y{\left(x \right)}}\right| > 1 \\2 i \sqrt{1 - y{\left(x \right)}} - 2 i \log{\left(\sqrt{1 - y{\left(x \right)}} + 1 \right)} + i \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} = C_{1} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x$$
$$\sqrt{y{\left(x \right)} - 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1}}$$
obtendremos
$$- \frac{\sqrt{y{\left(x \right)} - 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - x - 2$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \sqrt{y{\left(x \right)} - 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 2\right)$$
o
$$- \frac{dy \sqrt{y{\left(x \right)} - 1}}{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - 2\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sqrt{y - 1}}{y}\right)\, dy = \int \left(- x - 2\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \begin{cases} 2 \sqrt{y - 1} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{y}} \right)} & \text{for}\: \left|{y}\right| > 1 \\2 i \sqrt{1 - y} + i \log{\left(y \right)} - 2 i \log{\left(\sqrt{1 - y} + 1 \right)} & \text{otherwise} \end{cases} = Const - \frac{x^{2}}{2} - 2 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \begin{cases} 2 \sqrt{y{\left(x \right)} - 1} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} \right)} & \text{for}\: \left|{y{\left(x \right)}}\right| > 1 \\2 i \sqrt{1 - y{\left(x \right)}} - 2 i \log{\left(\sqrt{1 - y{\left(x \right)}} + 1 \right)} + i \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} = C_{1} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x$$
Respuesta
[src]
/ ___________ / 1 \ | 2*\/ -1 + y(x) + 2*asin|--------| for |y(x)| > 1 2 | | ______| x < \\/ y(x) / = C1 + -- + 2*x | 2 | / __________\ __________ \I*log(y(x)) - 2*I*log\1 + \/ 1 - y(x) / + 2*I*\/ 1 - y(x) otherwise
$$\begin{cases} 2 \sqrt{y{\left(x \right)} - 1} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} \right)} & \text{for}\: \left|{y{\left(x \right)}}\right| > 1 \\2 i \sqrt{1 - y{\left(x \right)}} - 2 i \log{\left(\sqrt{1 - y{\left(x \right)}} + 1 \right)} + i \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} = C_{1} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)