Ecuación diferencial xyy'=x2+y2

Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x_{2} + y_{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{x_{2} + y_{2}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{x_{2} + y_{2}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{2} + y_{2}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x_{2} + y_{2}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{x_{2} + y_{2}} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{x_{2} + y_{2}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2 x_{2} + 2 y_{2}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x_{2} \log{\left(x \right)} + y_{2} \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x_{2} \log{\left(x \right)} + y_{2} \log{\left(x \right)}}$$