Sr Examen
Ecuación diferencial y''-8y'+16y=30sin(x)-16cos(x)+48x-24
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 8*--(y(x)) + 16*y(x) + ---(y(x)) = -24 - 16*cos(x) + 30*sin(x) + 48*x
dx 2
dx
$$16 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
16*y - 8*y' + y'' = 48*x + 30*sin(x) - 16*cos(x) - 24
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$16 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -8$$
$$q = 16$$
$$s = - 48 x - 30 \sin{\left(x \right)} + 16 \cos{\left(x \right)} + 24$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 8 k + 16 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 4$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = 4$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{4 x} + C_{2} x e^{4 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(4*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(4*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{4 x} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
o
$$x e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(4 x e^{4 x} + e^{4 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 4 e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - 2 x \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 2 x \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int 2 \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + 12 x^{2} e^{- 4 x} + 8 x e^{- 4 x} \sin{\left(x \right)} - 2 x e^{- 4 x} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{- 4 x} \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - 12 x e^{- 4 x} - 8 e^{- 4 x} \sin{\left(x \right)} + 2 e^{- 4 x} \cos{\left(x \right)} + 3 e^{- 4 x}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{4 x} + C_{4} x e^{4 x} + 3 x + 2 \sin{\left(x \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$16 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -8$$
$$q = 16$$
$$s = - 48 x - 30 \sin{\left(x \right)} + 16 \cos{\left(x \right)} + 24$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 8 k + 16 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 4$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = 4$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{4 x} + C_{2} x e^{4 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(4*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(4*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{4 x} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
o
$$x e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(4 x e^{4 x} + e^{4 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 4 e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 48 x + 30 \sin{\left(x \right)} - 16 \cos{\left(x \right)} - 24$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - 2 x \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- 2 x \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int 2 \left(24 x + 15 \sin{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} - 12\right) e^{- 4 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + 12 x^{2} e^{- 4 x} + 8 x e^{- 4 x} \sin{\left(x \right)} - 2 x e^{- 4 x} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{- 4 x} \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - 12 x e^{- 4 x} - 8 e^{- 4 x} \sin{\left(x \right)} + 2 e^{- 4 x} \cos{\left(x \right)} + 3 e^{- 4 x}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{4 x} + C_{4} x e^{4 x} + 3 x + 2 \sin{\left(x \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
4*x y(x) = 2*sin(x) + 3*x + (C1 + C2*x)*e
$$y{\left(x \right)} = 3 x + \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{4 x} + 2 \sin{\left(x \right)}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral