Sr Examen
Ecuación diferencial 3*y''-2*y'+11y=6sinh(4x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 2*--(y(x)) + 3*---(y(x)) + 11*y(x) = 6*sinh(4*x)
dx 2
dx
$$11 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 6 \sinh{\left(4 x \right)}$$
11*y - 2*y' + 3*y'' = 6*sinh(4*x)
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{11 y{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = - \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{11}{3}$$
$$s = - 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{2 k}{3} + \frac{11}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
$$k_{2} = \frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1/3 - 4*sqrt(2)*i/3)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1/3 + 4*sqrt(2)*i/3)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
o
$$e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right) e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right) e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{2} i \left(e^{8 x} - 1\right) e^{- \frac{x \left(13 - 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{2} i \left(1 - e^{8 x}\right) e^{- \frac{x \left(13 + 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{3 \sqrt{2} i \left(e^{8 x} - 1\right) e^{- \frac{x \left(13 - 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{3 \sqrt{2} i \left(1 - e^{8 x}\right) e^{- \frac{x \left(13 + 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{3 \sqrt{2} i \left(- \frac{411 e^{\frac{50 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}} + \frac{312 \sqrt{2} i e^{\frac{50 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{525 e^{\frac{26 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{24 \sqrt{2} i e^{\frac{26 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}}\right)}{16}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{3 \sqrt{2} i \left(- \frac{2847 e^{\frac{50 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{5700 \sqrt{2} i e^{\frac{50 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{7017 e^{\frac{26 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{1788 \sqrt{2} i e^{\frac{26 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}\right)}{16}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{x}{3}} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + C_{4} e^{\frac{x}{3}} e^{\frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} - \frac{117 e^{17 x}}{- 2339 e^{13 x} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x}} + \frac{9 e^{9 x}}{- 2339 e^{13 x} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x}} - \frac{1233 \sqrt{2} i e^{17 x}}{- 37424 e^{13 x} + 9536 \sqrt{2} i e^{13 x}} - \frac{1575 \sqrt{2} i e^{9 x}}{- 37424 e^{13 x} + 9536 \sqrt{2} i e^{13 x}} + \frac{4275 e^{17 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{2 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)} - \frac{8541 \sqrt{2} i e^{17 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{16 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)} + \frac{1341 e^{9 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{2 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)} - \frac{21051 \sqrt{2} i e^{9 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{16 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{11 y{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = - \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{11}{3}$$
$$s = - 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{2 k}{3} + \frac{11}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
$$k_{2} = \frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1/3 - 4*sqrt(2)*i/3)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1/3 + 4*sqrt(2)*i/3)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
o
$$e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right) e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right) e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(4 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{2} i \left(e^{8 x} - 1\right) e^{- \frac{x \left(13 - 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{2} i \left(1 - e^{8 x}\right) e^{- \frac{x \left(13 + 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{3 \sqrt{2} i \left(e^{8 x} - 1\right) e^{- \frac{x \left(13 - 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{3 \sqrt{2} i \left(1 - e^{8 x}\right) e^{- \frac{x \left(13 + 4 \sqrt{2} i\right)}{3}}}{16}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{3 \sqrt{2} i \left(- \frac{411 e^{\frac{50 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}} + \frac{312 \sqrt{2} i e^{\frac{50 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{525 e^{\frac{26 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{24 \sqrt{2} i e^{\frac{26 x}{3}}}{- 2339 e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}}}\right)}{16}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{3 \sqrt{2} i \left(- \frac{2847 e^{\frac{50 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{5700 \sqrt{2} i e^{\frac{50 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{7017 e^{\frac{26 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}} - \frac{1788 \sqrt{2} i e^{\frac{26 x}{3}} e^{4 \sqrt{2} i x}}{25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}\right)}{16}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{x}{3}} e^{- \frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} + C_{4} e^{\frac{x}{3}} e^{\frac{4 \sqrt{2} i x}{3}} - \frac{117 e^{17 x}}{- 2339 e^{13 x} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x}} + \frac{9 e^{9 x}}{- 2339 e^{13 x} + 596 \sqrt{2} i e^{13 x}} - \frac{1233 \sqrt{2} i e^{17 x}}{- 37424 e^{13 x} + 9536 \sqrt{2} i e^{13 x}} - \frac{1575 \sqrt{2} i e^{9 x}}{- 37424 e^{13 x} + 9536 \sqrt{2} i e^{13 x}} + \frac{4275 e^{17 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{2 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)} - \frac{8541 \sqrt{2} i e^{17 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{16 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)} + \frac{1341 e^{9 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{2 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)} - \frac{21051 \sqrt{2} i e^{9 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}}{16 \left(25639 e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}} + 17104 \sqrt{2} i e^{13 x} e^{\frac{16 \sqrt{2} i x}{3}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
x
/ / ___\ / ___\\ -
16*cosh(4*x) 118*sinh(4*x) | |4*x*\/ 2 | |4*x*\/ 2 || 3
y(x) = ------------ + ------------- + |C1*sin|---------| + C2*cos|---------||*e
1139 1139 \ \ 3 / \ 3 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} + \frac{118 \sinh{\left(4 x \right)}}{1139} + \frac{16 \cosh{\left(4 x \right)}}{1139}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral