Sr Examen
Ecuación diferencial ydy-(x*sinx*(9-y^2)^(1/2))dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ d / 2 --(y(x))*y(x) - x*\/ 9 - y (x) *sin(x) = 0 dx
$$- x \sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-x*sqrt(9 - y^2)*sin(x) + y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x \sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}} = x \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}} = dx x \sin{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}} = dx x \sin{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{9 - y^{2}}}\, dy = \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{9 - y^{2}} = Const - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} x \cos{\left(x \right)} - 2 C_{1} \sin{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + 9}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} x \cos{\left(x \right)} - 2 C_{1} \sin{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + 9}$$
$$- x \sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}} = x \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}} = dx x \sin{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{9 - y^{2}{\left(x \right)}}} = dx x \sin{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{9 - y^{2}}}\, dy = \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{9 - y^{2}} = Const - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} x \cos{\left(x \right)} - 2 C_{1} \sin{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + 9}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} x \cos{\left(x \right)} - 2 C_{1} \sin{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + 9}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -5.764826945425311e-10)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 5.107659831618641e-38)
(7.777777777777779, 8.388243567355287e+296)
(10.0, 9.036991477623112e-277)
(10.0, 9.036991477623112e-277)