Ecuación diferencial sinxdx=1/y^3dy

Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = dx \sin{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = dx \sin{\left(x \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = \int \sin{\left(x \right)}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 y^{2}} = Const - \cos{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - \cos{\left(x \right)}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - \cos{\left(x \right)}}}}{2}$$