Sr Examen
Ecuación diferencial yy'=x(y^2+1)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d / 2 \ --(y(x))*y(x) = x*\1 + y (x)/ dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
y*y' = x*(y^2 + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx x$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \int x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{x^{2}} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{x^{2}} - 1}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx x$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy = \int x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{x^{2}} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{x^{2}} - 1}$$
Respuesta
[src]
_______________
/ / 2\
/ \x /
y(x) = -\/ -1 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{x^{2}} - 1}$$
_______________
/ / 2\
/ \x /
y(x) = \/ -1 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{x^{2}} - 1}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral