Ecuación diferencial sec^2xdy+cscydx=0

Tenemos la ecuación:
$$\csc{\left(y \right)} \frac{d}{d y} x{\left(y \right)} + \sec^{2}{\left(x{\left(y \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(y \right)} = - \sin{\left(y \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x{\left(y \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\sec^{2}{\left(x{\left(y \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\cos^{2}{\left(x{\left(y \right)} \right)} \frac{d}{d y} x{\left(y \right)} = - \sin{\left(y \right)}$$
Con esto hemos separado las variables y y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dy,
entonces la ecuación será así
$$dy \cos^{2}{\left(x{\left(y \right)} \right)} \frac{d}{d y} x{\left(y \right)} = - dy \sin{\left(y \right)}$$
o
$$dx \cos^{2}{\left(x{\left(y \right)} \right)} = - dy \sin{\left(y \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por y.
$$\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \sin{\left(y \right)}\right)\, dy$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con y
Tomemos estas integrales
$$\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = Const + \cos{\left(y \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = \frac{x{\left(y \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x{\left(y \right)} \right)} \cos{\left(x{\left(y \right)} \right)}}{2} - \cos{\left(y \right)} = C_{1}$$