Sr Examen
Ecuación diferencial (y+1)dx+x(x-1)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d d
1 + x *--(y(x)) - x*--(y(x)) + y(x) = 0
dx dx
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
x^2*y' - x*y' + y + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x \left(x - 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x \left(x - 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y + 1}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \left(x - 1\right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y + 1 \right)} = Const + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x - x + 1}{x - 1}$$
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x \left(x - 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x \left(x - 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y + 1}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \left(x - 1\right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y + 1 \right)} = Const + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x - x + 1}{x - 1}$$
Respuesta
[src]
1 - x + C1*x
y(x) = ------------
-1 + x
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x - x + 1}{x - 1}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral