Ecuación diferencial dx/dt=𝑥2(𝑡2−3𝑡)𝑥=4

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = x_{2} \left(- 3 t + t_{2}\right) x{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y' + P(x)y = 0,

donde
$$P{\left(t \right)} = - x_{2} \left(- 3 t + t_{2}\right)$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:

De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(t \right)} = - x_{2} \left(- 3 t + t_{2}\right)$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- x_{2} \left(- 3 t + t_{2}\right)\right)\, dt = \left(\frac{3 t^{2} x_{2}}{2} - t t_{2} x_{2}\right) + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} - \frac{3 t^{2} x_{2}}{2} + t t_{2} x_{2}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - \frac{3 t^{2} x_{2}}{2} + t t_{2} x_{2}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{- \frac{3 t^{2} x_{2}}{2} + t t_{2} x_{2}}$$