Tenemos la ecuación:
$$\frac{d^{2} x{\left(t \right)}}{dt^{3}} + \frac{x{\left(t \right)}}{dt} - \frac{2 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{dt} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - d^{2} - dt^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x{\left(t \right)}}{2 dt^{2}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- \frac{x{\left(t \right)}}{2 dt^{2}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 dt^{2} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x{\left(t \right)}} = - d^{2} - dt^{2}$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dt^{3} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x{\left(t \right)}} = dt \left(- d^{2} - dt^{2}\right)$$
o
$$- \frac{2 dt^{2} dx}{x{\left(t \right)}} = dt \left(- d^{2} - dt^{2}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{2 dt^{2}}{x}\right)\, dx = \int \left(- d^{2} - dt^{2}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con xSolución detallada de la integral con tTomemos estas integrales
$$- 2 dt^{2} \log{\left(x \right)} = Const + t \left(- d^{2} - dt^{2}\right)$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{t \left(\frac{d^{2}}{dt^{2}} + 1\right)}{2}}$$