Ecuación diferencial y′(x^2+2)+4x(y^2+2y+1)=0

Tenemos la ecuación:
$$4 x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 1\right) + \left(x^{2} + 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{4 dx x}{x^{2} + 2}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{4 dx x}{x^{2} + 2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 2 y + 1}\, dy = \int \left(- \frac{4 x}{x^{2} + 2}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y + 1} = Const - 2 \log{\left(x^{2} + 2 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{- C_{1} + 2 \log{\left(x^{2} + 2 \right)} - 1}{C_{1} - 2 \log{\left(x^{2} + 2 \right)}}$$