Sr Examen
Ecuación diferencial xy'=e^y+2y'
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d y(x) x*--(y(x)) = 2*--(y(x)) + e dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{y{\left(x \right)}} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
x*y' = exp(y) + 2*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x - 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x - 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x - 2}$$
o
$$- dy e^{- y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x - 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x - 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$e^{- y} = Const - \log{\left(x - 2 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x - 2 \right)}} \right)}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - e^{y{\left(x \right)}} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x - 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x - 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x - 2}$$
o
$$- dy e^{- y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x - 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x - 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$e^{- y} = Const - \log{\left(x - 2 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x - 2 \right)}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ -1 \
y(x) = log|----------------|
\C1 + log(-2 + x)/
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x - 2 \right)}} \right)}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral