Ecuación diferencial cosy/x=x*y'

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\cos{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{1}{x} \right)}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{1}{x} \right)}} \right)}$$