Tenemos la ecuación:
$$- 12 y{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -4$$
$$q = -12$$
$$s = - \sin{\left(2 t \right)}$$
Se llama
lineal heterogéneaecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k - 12 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2$$
$$k_{2} = 6$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- 2 t} + C_{2} e^{6 t}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{6 t}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(-2*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(6*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- 2 t} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{6 t} = \sin{\left(2 t \right)}$$
o
$$e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$6 e^{6 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} - 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - \frac{e^{2 t} \sin{\left(2 t \right)}}{8}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{e^{- 6 t} \sin{\left(2 t \right)}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{e^{2 t} \sin{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \frac{e^{- 6 t} \sin{\left(2 t \right)}}{8}\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} - \frac{e^{2 t} \sin{\left(2 t \right)}}{32} + \frac{e^{2 t} \cos{\left(2 t \right)}}{32}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{3 e^{- 6 t} \sin{\left(2 t \right)}}{160} - \frac{e^{- 6 t} \cos{\left(2 t \right)}}{160}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{6 t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- 2 t} + C_{4} e^{6 t} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{20} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{40}$$
donde C3 y C4 hay son constantes