Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(x^2-6)*y'-x*(y^2)+9x=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
_________
/ 2 d 2
9*x + \/ -6 + x *--(y(x)) - x*y (x) = 0
dx
$$- x y^{2}{\left(x \right)} + 9 x + \sqrt{x^{2} - 6} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-x*y^2 + 9*x + sqrt(x^2 - 6)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x y^{2}{\left(x \right)} + 9 x + \sqrt{x^{2} - 6} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 9$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} - 9$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 9} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 9} = \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 9} = \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} - 9}\, dy = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 6}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y - 3 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(y + 3 \right)}}{6} = Const + \sqrt{x^{2} - 6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{3}{\tanh{\left(C_{1} + 3 \sqrt{x^{2} - 6} \right)}}$$
$$- x y^{2}{\left(x \right)} + 9 x + \sqrt{x^{2} - 6} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} - 9$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} - 9$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 9} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 9} = \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 9} = \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} - 6}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} - 9}\, dy = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 6}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y - 3 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(y + 3 \right)}}{6} = Const + \sqrt{x^{2} - 6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{3}{\tanh{\left(C_{1} + 3 \sqrt{x^{2} - 6} \right)}}$$
Respuesta
[src]
-3
y(x) = -------------------------
/ _________\
| / 2 |
tanh\C1 + 3*\/ -6 + x /
$$y{\left(x \right)} = - \frac{3}{\tanh{\left(C_{1} + 3 \sqrt{x^{2} - 6} \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 2.9999966293342233)
(-5.555555555555555, 3.000000000944132)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)