Ecuación diferencial e^(2x-y)dx=e^(y-2x)dy=0

Tenemos la ecuación:
$$e^{2 x} e^{- y{\left(x \right)}} - e^{- 2 x} e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 2 x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 2$$
sustituimos
$$e^{2 x} e^{- 2 x - u{\left(x \right)}} - e^{- 2 x} e^{2 x + u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} \left(2 x + u{\left(x \right)}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 2 e^{u{\left(x \right)}} + e^{- u{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 2 - e^{- 2 u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$2 - e^{- 2 u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{e^{2 u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e^{2 u{\left(x \right)}} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx e^{2 u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e^{2 u{\left(x \right)}} - 1} = - dx$$
o
$$\frac{du e^{2 u{\left(x \right)}}}{2 e^{2 u{\left(x \right)}} - 1} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{e^{2 u}}{2 e^{2 u} - 1}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(e^{2 u} - \frac{1}{2} \right)}}{4} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x + \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(-2 + e^{- 2 u{\left(x \right)}} \right)}}{4} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = 2 x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} + 2 x$$