Ecuación diferencial pi^2*y+9*y''=0

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$9$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{\pi^{2} y{\left(x \right)}}{9} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = 0,

donde
$$p = 0$$
$$q = \frac{\pi^{2}}{9}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{\pi^{2}}{9} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{i \pi}{3}$$
$$k_{2} = \frac{i \pi}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$