Sr Examen
Ecuación diferencial dx*(2*x*y^2+5*y^2)+15*dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2
5*y (x) + 15*--(y(x)) + 2*x*y (x) = 0
dx
$$2 x y^{2}{\left(x \right)} + 5 y^{2}{\left(x \right)} + 15 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
2*x*y^2 + 5*y^2 + 15*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x y^{2}{\left(x \right)} + 5 y^{2}{\left(x \right)} + 15 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x - 5$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{15}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)}}{15}$$
obtendremos
$$\frac{15 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - 2 x - 5$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{15 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(- 2 x - 5\right)$$
o
$$\frac{15 dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(- 2 x - 5\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{15}{y^{2}}\, dy = \int \left(- 2 x - 5\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{15}{y} = Const - x^{2} - 5 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{15}{C_{1} + x^{2} + 5 x}$$
$$2 x y^{2}{\left(x \right)} + 5 y^{2}{\left(x \right)} + 15 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x - 5$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{15}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)}}{15}$$
obtendremos
$$\frac{15 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - 2 x - 5$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{15 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(- 2 x - 5\right)$$
o
$$\frac{15 dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(- 2 x - 5\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{15}{y^{2}}\, dy = \int \left(- 2 x - 5\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{15}{y} = Const - x^{2} - 5 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{15}{C_{1} + x^{2} + 5 x}$$
Respuesta
[src]
15
y(x) = -------------
2
C1 + x + 5*x
$$y{\left(x \right)} = \frac{15}{C_{1} + x^{2} + 5 x}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 734456492.7772115)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 7.566503212566957e-67)
(7.777777777777779, 8.388243566974546e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)