Sr Examen
Otras calculadoras
- Resolución de la ecuación diferencial con reemplazo paso a paso
- Ecuaciones con diferenciales completas paso a paso
- Ecuaciones diferenciales de 2 orden, homogéneas y lineales paso a paso
- Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden paso a paso
- Ecuaciones diferenciales de variables separables paso a paso
- Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden paso a paso
- Convergencia de la serie – estudio en línea
- Solución del problema de Cauchy en línea
-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación 4y''+8y'+5y=0
- Ecuación 2y"-5y'+2y=0
- Ecuación d^2x/dt^2-4(dx/dt)+4x=e^t
- Ecuación xy’-y=0
- Integral de d{x}:
- e^t
- Forma canónica:
- e^t
- Derivada de:
-
e^t
-
Expresiones idénticas
- d^ dos x/dt^2- cuatro (dx/dt)+4x=e^t
- d al cuadrado x dividir por dt al cuadrado menos 4(dx dividir por dt) más 4x es igual a e en el grado t
- d en el grado dos x dividir por dt al cuadrado menos cuatro (dx dividir por dt) más 4x es igual a e en el grado t
- d2x/dt2-4(dx/dt)+4x=et
- d2x/dt2-4dx/dt+4x=et
- d²x/dt²-4(dx/dt)+4x=e^t
- d en el grado 2x/dt en el grado 2-4(dx/dt)+4x=e en el grado t
- d^2x/dt^2-4dx/dt+4x=e^t
- d^2x dividir por dt^2-4(dx dividir por dt)+4x=e^t
-
Expresiones semejantes
- d^2x/dt^2+4(dx/dt)+4x=e^t
- d^2x/dt^2-4(dx/dt)-4x=e^t
-
Expresiones con funciones
- dt
- dt/dx=x-3y
- dt*y^2+dy*(t^2-t*y-y^2)=0
- dt*(3*t+y4)+4*dy*t*y^3=0
- dt=e^y*dy
- dt*(2*t^2*y+y^2)+dy*(2*t^3-t*y)=0
- dx
- dx/dt=-kx+t
- dx/dt=4(x^2+1),(\pi/4)=1
- dx/dt=4(x^2+1)
- dx/dt=x-t^2
- dx/dy=(3x+xy^2)/(2y+x^2y)
- dt
- dt/dx=x-3y
- dt*y^2+dy*(t^2-t*y-y^2)=0
- dt*(3*t+y4)+4*dy*t*y^3=0
- dt=e^y*dy
- dt*(2*t^2*y+y^2)+dy*(2*t^3-t*y)=0
Ecuación diferencial d^2x/dt^2-4(dx/dt)+4x=e^t
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d t
- 4*--(x(t)) + 4*x(t) + ---(x(t)) = e
dt 2
dt
$$4 x{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = e^{t}$$
4*x - 4*x' + x'' = exp(t)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$4 x{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = e^{t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -4$$
$$q = 4$$
$$s = - e^{t}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 2$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{1} t} C_{2} t$$
Sustituyamos $$k_{1} = 2$$
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{2 t} + C_{2} t e^{2 t}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$x{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{2 t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{2 t}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(2*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = t*exp(2*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = e^{t}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$t e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} t e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{2 t} = e^{t}$$
o
$$t e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(2 t e^{2 t} + e^{2 t}\right) \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + 2 e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = e^{t}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - t e^{- t}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = e^{- t}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- t e^{- t}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int e^{- t}\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \left(t + 1\right) e^{- t}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - e^{- t}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$x{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{2 t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{2 t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{3} e^{2 t} + C_{4} t e^{2 t} + e^{t}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$4 x{\left(t \right)} - 4 \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)} = e^{t}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -4$$
$$q = 4$$
$$s = - e^{t}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 2$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$x{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{1} t} C_{2} t$$
Sustituyamos $$k_{1} = 2$$
$$x{\left(t \right)} = C_{1} e^{2 t} + C_{2} t e^{2 t}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$x{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{2 t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{2 t}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(2*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = t*exp(2*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = e^{t}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$t e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} t e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{2 t} = e^{t}$$
o
$$t e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(2 t e^{2 t} + e^{2 t}\right) \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + 2 e^{2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = e^{t}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - t e^{- t}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = e^{- t}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- t e^{- t}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int e^{- t}\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \left(t + 1\right) e^{- t}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - e^{- t}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$x{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{2 t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{2 t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x{\left(t \right)} = C_{3} e^{2 t} + C_{4} t e^{2 t} + e^{t}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ t\ t x(t) = \1 + (C1 + C2*t)*e /*e
$$x{\left(t \right)} = \left(\left(C_{1} + C_{2} t\right) e^{t} + 1\right) e^{t}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral