Sr Examen
Ecuación diferencial y'=e^(-y)*cos(2*x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d -y(x) --(y(x)) = cos(2*x)*e dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{- y{\left(x \right)}} \cos{\left(2 x \right)}$$
y' = exp(-y)*cos(2*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{- y{\left(x \right)}} \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{- y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{- y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$- dy e^{y{\left(x \right)}} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{y}\right)\, dy = \int \left(- \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- e^{y} = Const - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{- y{\left(x \right)}} \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{- y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{- y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$- dy e^{y{\left(x \right)}} = - dx \cos{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{y}\right)\, dy = \int \left(- \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- e^{y} = Const - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ sin(2*x)\
y(x) = log|C1 + --------|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral