Sr Examen
Ecuación diferencial y''+2*y'+4*y=50cos(x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
2*--(y(x)) + 4*y(x) + ---(y(x)) = 50*cos(x)
dx 2
dx
$$4 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
4*y + 2*y' + y'' = 50*cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 2$$
$$q = 4$$
$$s = - 50 \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = -1 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - sqrt(3)*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + sqrt(3)*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - \sqrt{3} i\right) e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + \sqrt{3} i\right) e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{25 \sqrt{3} i e^{x + \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{25 \sqrt{3} i e^{x - \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{25 \sqrt{3} i e^{x + \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{25 \sqrt{3} i e^{x - \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{25 \sqrt{3} i \left(- \frac{2 \sqrt{3} i e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{7 e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} - \frac{\sqrt{3} i e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i}\right)}{3}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{25 \sqrt{3} i \left(- \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{2 \sqrt{3} i e^{x} \sin{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{7 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{\sqrt{3} i e^{x} \cos{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}}\right)}{3}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- \sqrt{3} i x} + C_{4} e^{- x} e^{\sqrt{3} i x} + \frac{50 \sin{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{25 \sqrt{3} i \sin{\left(x \right)}}{3 \left(11 + 4 \sqrt{3} i\right)} + \frac{25 \cos{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{175 \sqrt{3} i \cos{\left(x \right)}}{3 \left(11 + 4 \sqrt{3} i\right)} - \frac{50 e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{25 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{3 \left(- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}\right)} - \frac{25 e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{175 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3 \left(- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$4 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 2$$
$$q = 4$$
$$s = - 50 \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = -1 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - sqrt(3)*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + sqrt(3)*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - \sqrt{3} i\right) e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + \sqrt{3} i\right) e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 50 \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{25 \sqrt{3} i e^{x + \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{25 \sqrt{3} i e^{x - \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{25 \sqrt{3} i e^{x + \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{25 \sqrt{3} i e^{x - \sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{25 \sqrt{3} i \left(- \frac{2 \sqrt{3} i e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{7 e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} - \frac{\sqrt{3} i e^{x} e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i}\right)}{3}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{25 \sqrt{3} i \left(- \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{2 \sqrt{3} i e^{x} \sin{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{7 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} - \frac{\sqrt{3} i e^{x} \cos{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}}\right)}{3}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - \sqrt{3} i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- \sqrt{3} i x} + C_{4} e^{- x} e^{\sqrt{3} i x} + \frac{50 \sin{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{25 \sqrt{3} i \sin{\left(x \right)}}{3 \left(11 + 4 \sqrt{3} i\right)} + \frac{25 \cos{\left(x \right)}}{11 + 4 \sqrt{3} i} + \frac{175 \sqrt{3} i \cos{\left(x \right)}}{3 \left(11 + 4 \sqrt{3} i\right)} - \frac{50 e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{25 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \sin{\left(x \right)}}{3 \left(- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}\right)} - \frac{25 e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}} + \frac{175 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x} \cos{\left(x \right)}}{3 \left(- 11 e^{\sqrt{3} i x} + 4 \sqrt{3} i e^{\sqrt{3} i x}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
100*sin(x) 150*cos(x) / / ___\ / ___\\ -x
y(x) = ---------- + ---------- + \C1*sin\x*\/ 3 / + C2*cos\x*\/ 3 //*e
13 13
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} + \frac{100 \sin{\left(x \right)}}{13} + \frac{150 \cos{\left(x \right)}}{13}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral