Sr Examen
Ecuación diferencial 1-exp^(y^2)dy=dx/2y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 1 d y (x) y(x) -- - --(y(x))*e = ---- dx dx 2
$$- e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{1}{dx} = \frac{y{\left(x \right)}}{2}$$
-exp(y^2)*y' + 1/dx = y/2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{1}{dx} = \frac{y{\left(x \right)}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\left(- dx y{\left(x \right)} + 2\right) e^{- y^{2}{\left(x \right)}}}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\left(- dx y{\left(x \right)} + 2\right) e^{- y^{2}{\left(x \right)}}}{2}$$
obtendremos
$$\frac{2 e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)} - 2} = - \frac{1}{dx}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{2 dx e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)} - 2} = -1$$
o
$$\frac{2 dy e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{dx y{\left(x \right)} - 2} = -1$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 e^{y^{2}}}{dx y - 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{dx}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \int \frac{e^{y^{2}}}{dx y - 2}\, dy = Const - \frac{x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{e^{y^{2}}}{y dx - 2}\, dy = C_{1} - \frac{x}{2 dx}$$
$$- e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{1}{dx} = \frac{y{\left(x \right)}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\left(- dx y{\left(x \right)} + 2\right) e^{- y^{2}{\left(x \right)}}}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\left(- dx y{\left(x \right)} + 2\right) e^{- y^{2}{\left(x \right)}}}{2}$$
obtendremos
$$\frac{2 e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)} - 2} = - \frac{1}{dx}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{2 dx e^{y^{2}{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx y{\left(x \right)} - 2} = -1$$
o
$$\frac{2 dy e^{y^{2}{\left(x \right)}}}{dx y{\left(x \right)} - 2} = -1$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 e^{y^{2}}}{dx y - 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{dx}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \int \frac{e^{y^{2}}}{dx y - 2}\, dy = Const - \frac{x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{e^{y^{2}}}{y dx - 2}\, dy = C_{1} - \frac{x}{2 dx}$$
Respuesta
[src]
y(x)
/
|
| / 2\
| \y /
| e x
| --------- dy = C1 - ----
| -2 + dx*y 2*dx
|
/
$$\int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{e^{y^{2}}}{y dx - 2}\, dy = C_{1} - \frac{x}{2 dx}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral