Sr Examen
Ecuación diferencial y'=e^(5x-9y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d -9*y(x) + 5*x --(y(x)) = e dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{5 x - 9 y{\left(x \right)}}$$
y' = exp(5*x - 9*y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- e^{5 x - 9 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 5 x - 9 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$5 - 9 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{5}{9} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9}$$
sustituimos
$$- e^{5 x} e^{- 5 x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(\frac{5 x}{9} - \frac{u{\left(x \right)}}{9}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9} + \frac{5}{9} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 9 e^{u{\left(x \right)}} - 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$9 e^{u{\left(x \right)}} - 5$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = - dx$$
o
$$\frac{du}{9 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{9 e^{u} - 5}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{5} + \frac{\log{\left(e^{u} - \frac{5}{9} \right)}}{5} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)}}{5} + \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} - \frac{5}{9} \right)}}{5} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{5 x}{9} - \frac{u{\left(x \right)}}{9}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{C_{1}}{9} + \frac{5 x}{9}$$
$$- e^{5 x - 9 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 5 x - 9 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$5 - 9 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{5}{9} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9}$$
sustituimos
$$- e^{5 x} e^{- 5 x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(\frac{5 x}{9} - \frac{u{\left(x \right)}}{9}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9} + \frac{5}{9} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 9 e^{u{\left(x \right)}} - 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$9 e^{u{\left(x \right)}} - 5$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{9 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = - dx$$
o
$$\frac{du}{9 e^{u{\left(x \right)}} - 5} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{9 e^{u} - 5}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{5} + \frac{\log{\left(e^{u} - \frac{5}{9} \right)}}{5} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)}}{5} + \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} - \frac{5}{9} \right)}}{5} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{5 x}{9} - \frac{u{\left(x \right)}}{9}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{C_{1}}{9} + \frac{5 x}{9}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral