Sr Examen
Ecuación diferencial y''-2y'+5y=7exp(-x)sin(x)-4exp(-x)cos(x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d -x -x
- 2*--(y(x)) + 5*y(x) + ---(y(x)) = - 4*cos(x)*e + 7*e *sin(x)
dx 2
dx
$$5 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
5*y - 2*y' + y'' = 7*exp(-x)*sin(x) - 4*exp(-x)*cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -2$$
$$q = 5$$
$$s = - 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} + 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - 2 i$$
$$k_{2} = 1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + 2 i\right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - 2 i\right) e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + 2 i\right) e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = i \left(\frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x \left(-1 + i\right)}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = i \left(- \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x \left(1 + i\right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int i \left(\frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x \left(-1 + i\right)}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int i \left(- \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x \left(1 + i\right)}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + i \left(- \frac{e^{- 2 x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{i e^{- 2 x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{- 2 x} e^{2 i x} \cos{\left(x \right)}}{4}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + i \left(\frac{e^{- 2 x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{i e^{- 2 x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} e^{- 2 i x} \cos{\left(x \right)}}{4}\right)$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{x} e^{2 i x} + e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$5 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -2$$
$$q = 5$$
$$s = - 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} + 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - 2 i$$
$$k_{2} = 1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(1 + 2 i\right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(1 - 2 i\right) e^{x \left(1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(1 + 2 i\right) e^{x \left(1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 7 e^{- x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = i \left(\frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x \left(-1 + i\right)}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = i \left(- \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x \left(1 + i\right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int i \left(\frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x \left(-1 + i\right)}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int i \left(- \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x \left(1 + i\right)}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + i \left(- \frac{e^{- 2 x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{i e^{- 2 x} e^{2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{- 2 x} e^{2 i x} \cos{\left(x \right)}}{4}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + i \left(\frac{e^{- 2 x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{i e^{- 2 x} e^{- 2 i x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- 2 x} e^{- 2 i x} \cos{\left(x \right)}}{4}\right)$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{x} e^{2 i x} + e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
x -x y(x) = (C1*sin(2*x) + C2*cos(2*x))*e + e *sin(x)
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} + e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral