Ecuación diferencial xdy=y^4dx

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{4}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{4}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{4}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{4}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{3 y^{3}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + \left(-3\right) \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6}$$