Ecuación diferencial ydy+x+2/xdx=0

Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{2}{x} + \frac{x}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{2}{x} - \frac{x}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- \frac{2}{x} - \frac{x}{dx}\right)$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(- \frac{2}{x} - \frac{x}{dx}\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \left(- \frac{2}{x} - \frac{x}{dx}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{- 2 dx \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}}{dx}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - 4 \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{dx}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 4 \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{dx}}$$