Sr Examen
Ecuación diferencial ydy+dx=2dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d
1 + --(y(x))*y(x) = 2*--(y(x))
dx dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y*y' + 1 = 2*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
obtendremos
$$\left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx$$
o
$$dy \left(y{\left(x \right)} - 2\right) = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(y - 2\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 - \sqrt{C_{1} - 2 x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x} + 2$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} - 2}$$
obtendremos
$$\left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx$$
o
$$dy \left(y{\left(x \right)} - 2\right) = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(y - 2\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 - \sqrt{C_{1} - 2 x}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x} + 2$$
Respuesta
[src]
__________ y(x) = 2 - \/ C1 - 2*x
$$y{\left(x \right)} = 2 - \sqrt{C_{1} - 2 x}$$
__________ y(x) = 2 + \/ C1 - 2*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 x} + 2$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral