Sr Examen

Ecuación diferencial yxdy-lnxdx=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
            d                
-log(x) + x*--(y(x))*y(x) = 0
            dx               
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} = 0$$
x*y*y' - log(x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}$$
Respuesta [src]
           ______________
          /         2    
y(x) = -\/  C1 + log (x) 
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}$$
          ______________
         /         2    
y(x) = \/  C1 + log (x) 
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)