Sr Examen

Ecuación diferencial yxdy=(y^2+x)dx

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
  d                    2   
x*--(y(x))*y(x) = x + y (x)
  dx                       
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + y^{2}{\left(x \right)}$$
x*y*y' = x + y^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x - y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - x = 0$$
o
$$x^{3} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- du u{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- u\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u^{2}}{2} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - x \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}$$
$$y2 = y(x) = x \sqrt{C_{1} - \frac{2}{x}}$$
Respuesta [src]
          _______________
y(x) = -\/ x*(-2 + C1*x) 
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{x \left(C_{1} x - 2\right)}$$
         _______________
y(x) = \/ x*(-2 + C1*x) 
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{x \left(C_{1} x - 2\right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
1st exact
Bernoulli
almost linear
lie group
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.948606691677809)
(-5.555555555555555, 2.2609473512260174)
(-3.333333333333333, 2.1229564812196404)
(-1.1111111111111107, 1.4079249634509499)
(1.1111111111111107, -49499452.783808574)
(3.333333333333334, -148498358.3514259)
(5.555555555555557, -247497263.91904318)
(7.777777777777779, -346496169.48666036)
(10.0, -445495075.0542776)
(10.0, -445495075.0542776)