Sr Examen
Ecuación diferencial x^8dx+y(x)dy=p
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
8 d
x + x*--(y(x))*y(x) = p
dx
$$x^{8} + x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = p$$
x^8 + x*y*y' = p
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{8} + x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = p$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{p - x^{8}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{p - x^{8}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(p - x^{8}\right)}{x}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(p - x^{8}\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \frac{p - x^{8}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + p \log{\left(x \right)} - \frac{x^{8}}{8}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 8 p \log{\left(x \right)} - x^{8}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 8 p \log{\left(x \right)} - x^{8}}}{2}$$
$$x^{8} + x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = p$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{p - x^{8}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{p - x^{8}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(p - x^{8}\right)}{x}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(p - x^{8}\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \frac{p - x^{8}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + p \log{\left(x \right)} - \frac{x^{8}}{8}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 8 p \log{\left(x \right)} - x^{8}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 8 p \log{\left(x \right)} - x^{8}}}{2}$$
Respuesta
[src]
______________________
/ 8
-\/ C1 - x + 8*p*log(x)
y(x) = ---------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 8 p \log{\left(x \right)} - x^{8}}}{2}$$
______________________
/ 8
\/ C1 - x + 8*p*log(x)
y(x) = -------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 8 p \log{\left(x \right)} - x^{8}}}{2}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral