Sr Examen
Ecuación diferencial dx*(-3*e^6*x+5)-4*dy*y^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 6
5 - 4*y (x)*--(y(x)) - 3*x*e = 0
dx
$$- 3 x e^{6} - 4 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 = 0$$
-3*x*exp(6) - 4*y^2*y' + 5 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 3 x e^{6} - 4 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 3 x e^{6} - 5$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{4 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{4 y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- 4 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x e^{6} - 5$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 4 dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(3 x e^{6} - 5\right)$$
o
$$- 4 dy y^{2}{\left(x \right)} = dx \left(3 x e^{6} - 5\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- 4 y^{2}\right)\, dy = \int \left(3 x e^{6} - 5\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{4 y^{3}}{3} = Const + \frac{3 x^{2} e^{6}}{2} - 5 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}$$
$$- 3 x e^{6} - 4 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 3 x e^{6} - 5$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{4 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{4 y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- 4 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x e^{6} - 5$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 4 dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(3 x e^{6} - 5\right)$$
o
$$- 4 dy y^{2}{\left(x \right)} = dx \left(3 x e^{6} - 5\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- 4 y^{2}\right)\, dy = \int \left(3 x e^{6} - 5\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{4 y^{3}}{3} = Const + \frac{3 x^{2} e^{6}}{2} - 5 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}$$
Respuesta
[src]
_____________________
/ 2 6
/ 15*x 9*x *e / ___\
3 / C1 + ---- - ------- *\-1 - I*\/ 3 /
\/ 4 8
y(x) = -----------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}}{2}$$
_____________________
/ 2 6
/ 15*x 9*x *e / ___\
3 / C1 + ---- - ------- *\-1 + I*\/ 3 /
\/ 4 8
y(x) = -----------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}}{2}$$
_____________________
/ 2 6
/ 15*x 9*x *e
y(x) = 3 / C1 + ---- - -------
\/ 4 8
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - \frac{9 x^{2} e^{6}}{8} + \frac{15 x}{4}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 26.17773946153927)
(-5.555555555555555, 31.546630048006513)
(-3.333333333333333, 34.30416396322195)
(-1.1111111111111107, 35.53179243370724)
(1.1111111111111107, 35.5339926320922)
(3.333333333333334, 34.31124358327764)
(5.555555555555557, 31.560577979773523)
(7.777777777777779, 26.20607830546418)
(10.0, 4.22475040188956)
(10.0, 4.22475040188956)