Ecuación diferencial dp/dt=p(1−p)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} p{\left(t \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(p)*p' = f2(x)*g2(p),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(p \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(p \right)} = \left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(p)/g2(p)*p'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(p)
$$\left(1 - p{\left(t \right)}\right) p{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y p.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} p{\left(t \right)}}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = dt$$
o
$$- \frac{dp}{\left(p{\left(t \right)} - 1\right) p{\left(t \right)}} = dt$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por p,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{p \left(p - 1\right)}\right)\, dp = \int 1\, dt$$
Solución detallada de la integral con p
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(p \right)} - \log{\left(p - 1 \right)} = Const + t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica p.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{p_{1}} = p{\left(t \right)} = \frac{1}{C_{1} e^{- t} + 1}$$