Sr Examen

Ecuación diferencial y'+p(x)y=q(x)

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
           d             
p*x*y(x) + --(y(x)) = q*x
           dx            
$$p x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = q x$$
p*x*y + y' = q*x
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$p x y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = q x$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)

donde
$$P{\left(x \right)} = p x$$
y
$$Q{\left(x \right)} = q x$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0

con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = p x$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int p x\, dx = \frac{p x^{2}}{2} + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} - \frac{p x^{2}}{2}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - \frac{p x^{2}}{2}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{- \frac{p x^{2}}{2}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x

$$y = C{\left(x \right)} e^{- \frac{p x^{2}}{2}}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = q x e^{\frac{p x^{2}}{2}}$$
Es decir, C(x) =
$$\int q x e^{\frac{p x^{2}}{2}}\, dx = \begin{cases} \frac{q e^{\frac{p x^{2}}{2}}}{p} & \text{for}\: p \neq 0 \\\frac{q x^{2}}{2} & \text{otherwise} \end{cases} + Const$$
Solución detallada de la integral
sustituimos C(x) en
$$y = C{\left(x \right)} e^{- \frac{p x^{2}}{2}}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$e^{- \frac{p x^{2}}{2}} \left(\begin{cases} \frac{q e^{\frac{p x^{2}}{2}}}{p} & \text{for}\: p \neq 0 \\\frac{q x^{2}}{2} & \text{otherwise} \end{cases} + Const\right)$$
Respuesta [src]
              /      2\
              |     x |
            p*|C1 - --|
              \     2 /
       q + e           
y(x) = ----------------
              p        
$$y{\left(x \right)} = \frac{q + e^{p \left(C_{1} - \frac{x^{2}}{2}\right)}}{p}$$
Clasificación
separable
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral