Sr Examen
Ecuación diferencial (3x-6y+4)(dy/dx)+x-2y+3
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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d
3 + x - 2*y(x) + (4 - 6*y(x) + 3*x)*--(y(x)) = 0
dx
$$x + \left(3 x - 6 y{\left(x \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 3 = 0$$
x + (3*x - 6*y + 4)*y' - 2*y + 3 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x + \left(3 x - 6 y{\left(x \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 3 x - 6 y{\left(x \right)} + 4$$
y porque
$$3 - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6}$$
sustituimos
$$3 x \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) - 6 \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) + \frac{u{\left(x \right)}}{3} + 4 \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) + \frac{5}{3} = 0$$
o
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6} + \frac{5 u{\left(x \right)}}{6} + \frac{5}{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -5 - \frac{10}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-5 - \frac{10}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} + 10} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} + 10} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} + 10} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{5 u + 10}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{5} + \frac{2 \log{\left(u + 2 \right)}}{5} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - 2 W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e^{1}}\right) - 2$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = - 2 W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e^{1}}\right) - 2$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}$$
$$y1 = y(x) = \frac{x}{2} + \frac{W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e}\right)}{3} + 1$$
$$y2 = y(x) = \frac{x}{2} + \frac{W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e}\right)}{3} + 1$$
$$x + \left(3 x - 6 y{\left(x \right)} + 4\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 y{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 3 x - 6 y{\left(x \right)} + 4$$
y porque
$$3 - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6}$$
sustituimos
$$3 x \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) - 6 \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) + \frac{u{\left(x \right)}}{3} + 4 \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}\right) + \frac{5}{3} = 0$$
o
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6} + \frac{5 u{\left(x \right)}}{6} + \frac{5}{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -5 - \frac{10}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-5 - \frac{10}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} + 10} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} + 10} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{5 u{\left(x \right)} + 10} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{5 u + 10}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{5} + \frac{2 \log{\left(u + 2 \right)}}{5} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - 2 W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e^{1}}\right) - 2$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = - 2 W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e^{1}}\right) - 2$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{x}{2} - \frac{u{\left(x \right)}}{6} + \frac{2}{3}$$
$$y1 = y(x) = \frac{x}{2} + \frac{W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e}\right)}{3} + 1$$
$$y2 = y(x) = \frac{x}{2} + \frac{W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{- 5 x}}}{2 e}\right)}{3} + 1$$
Clasificación
1st power series
lie group