Sr Examen
Ecuación diferencial yy'=1+3xlnx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x))*y(x) = 1 + 3*x*log(x) dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x \log{\left(x \right)} + 1$$
y*y' = 3*x*log(x) + 1
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x \log{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 3 x \log{\left(x \right)} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 3 x \log{\left(x \right)} - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- 3 x \log{\left(x \right)} - 1\right)$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} = dx \left(- 3 x \log{\left(x \right)} - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- 3 x \log{\left(x \right)} - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{2} \log{\left(x \right)} - 6 x^{2} + 8 x}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{2} \log{\left(x \right)} - 6 x^{2} + 8 x}}{2}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 3 x \log{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 3 x \log{\left(x \right)} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 3 x \log{\left(x \right)} - 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- 3 x \log{\left(x \right)} - 1\right)$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} = dx \left(- 3 x \log{\left(x \right)} - 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- 3 x \log{\left(x \right)} - 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{2} \log{\left(x \right)} - 6 x^{2} + 8 x}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{2} \log{\left(x \right)} - 6 x^{2} + 8 x}}{2}$$
Respuesta
[src]
________________________________
/ 2 2
-\/ C1 - 6*x + 8*x + 12*x *log(x)
y(x) = -------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{2} \log{\left(x \right)} - 6 x^{2} + 8 x}}{2}$$
________________________________
/ 2 2
\/ C1 - 6*x + 8*x + 12*x *log(x)
y(x) = -----------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{2} \log{\left(x \right)} - 6 x^{2} + 8 x}}{2}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral