Sr Examen

Ecuación diferencial yx^2dy-y^3dx=2x^2dy

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
   3       2 d                  2 d       
- y (x) + x *--(y(x))*y(x) = 2*x *--(y(x))
             dx                   dx      
$$x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{3}{\left(x \right)} = 2 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
x^2*y*y' - y^3 = 2*x^2*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{3}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{3}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 2}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(y{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy \left(y{\left(x \right)} - 2\right)}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y - 2}{y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y - 1}{y^{2}} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{- x + \sqrt{x \left(4 C_{1} x + x - 4\right)}}{2 \left(C_{1} x - 1\right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{x + \sqrt{x \left(4 C_{1} x + x - 4\right)}}{2 \left(C_{1} x - 1\right)}$$
Respuesta [src]
         _____________________    
       \/ x*(-4 + x + 4*C1*x)  - x
y(x) = ---------------------------
              2*(-1 + C1*x)       
$$y{\left(x \right)} = \frac{- x + \sqrt{x \left(4 C_{1} x + x - 4\right)}}{2 \left(C_{1} x - 1\right)}$$
        /      _____________________\ 
       -\x + \/ x*(-4 + x + 4*C1*x) / 
y(x) = -------------------------------
                2*(-1 + C1*x)         
$$y{\left(x \right)} = - \frac{x + \sqrt{x \left(4 C_{1} x + x - 4\right)}}{2 \left(C_{1} x - 1\right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7405742627448529)
(-5.555555555555555, 0.7246243283518035)
(-3.333333333333333, 0.6916819497415778)
(-1.1111111111111107, 0.5805597397666666)
(1.1111111111111107, -2.784366821653324e-07)
(3.333333333333334, -2.7843668216532355e-07)
(5.555555555555557, -2.784366821653199e-07)
(7.777777777777779, -2.7843668216531805e-07)
(10.0, -2.7843668216531715e-07)
(10.0, -2.7843668216531715e-07)
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