Sr Examen
Ecuación diferencial xy''=2yy'-y'
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2
d d d
x*---(y(x)) = - --(y(x)) + 2*--(y(x))*y(x)
2 dx dx
dx
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
x*y'' = 2*y*y' - y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right)}{x}$$
o
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y' \right)} = Const + \int \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{x}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \int \frac{e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{x}\, dx + C_{2}$$
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right)}{x}$$
o
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(2 y{\left(x \right)} - 1\right)}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y' \right)} = Const + \int \frac{2 y{\left(x \right)} - 1}{x}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{x}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{C_{1} e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \int \frac{e^{2 \int \frac{y{\left(x \right)}}{x}\, dx}}{x}\, dx + C_{2}$$