Ecuación diferencial yx'+x=-y*x^2

Tenemos la ecuación:
$$y x^{2}{\left(y \right)} + y \frac{d}{d y} x{\left(y \right)} + x{\left(y \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(y \right)} = y x{\left(y \right)}$$
y porque
$$x{\left(y \right)} = \frac{u{\left(y \right)}}{y}$$
entonces
$$\frac{d}{d y} x{\left(y \right)} = \frac{\frac{d}{d y} u{\left(y \right)}}{y} - \frac{u{\left(y \right)}}{y^{2}}$$
sustituimos
$$y \frac{d}{d y} \frac{u{\left(y \right)}}{y} + \frac{u^{2}{\left(y \right)}}{y} + \frac{u{\left(y \right)}}{y} = 0$$
o
$$\frac{d}{d y} u{\left(y \right)} + \frac{u^{2}{\left(y \right)}}{y} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(y \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{2}{\left(y \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d y} u{\left(y \right)}}{u^{2}{\left(y \right)}} = - \frac{1}{y}$$
Con esto hemos separado las variables y y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dy,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dy \frac{d}{d y} u{\left(y \right)}}{u^{2}{\left(y \right)}} = - \frac{dy}{y}$$
o
$$\frac{du}{u^{2}{\left(y \right)}} = - \frac{dy}{y}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por y.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con y
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{u} = Const - \log{\left(y \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(y \right)} = - \frac{1}{C_{1} - \log{\left(y \right)}}$$
hacemos cambio inverso
$$x{\left(y \right)} = \frac{u{\left(y \right)}}{y}$$
$$x1 = x(y) = - \frac{1}{y \left(C_{1} - \log{\left(y \right)}\right)}$$