Sr Examen
Ecuación diferencial xdy=(y^2+4y+5)lnxdx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 x*--(y(x)) = 5*log(x) + y (x)*log(x) + 4*log(x)*y(x) dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}$$
x*y' = y^2*log(x) + 4*y*log(x) + 5*log(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 4 y + 5}\, dy = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{atan}{\left(y + 2 \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} \right)} - 2$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 5} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 4 y + 5}\, dy = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{atan}{\left(y + 2 \right)} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} \right)} - 2$$
Respuesta
[src]
/ 2 \
| log (x)|
y(x) = -2 + tan|C1 + -------|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = \tan{\left(C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} \right)} - 2$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral